CH2 排列與組合
& 1 加法與乘法原理、階乘的運算
一、重點整理
1. 加法原理 : 完成一事件，可有不同的選擇方式， 方式一 有個方法 方式二 有個方法， ， 方式 有個方法， 則此事件完成的方法有++………+個方法。 2. 乘法原理 : 完成一件事，須經過個步驟， 其中，完成第一個步驟有種方法， 完成第二個步驟有種方法， ， 完成第個步驟有種方法， 則此事件完成的方法有………種方法。 3. 的階乘定義 : ……… 規定 0 != 1 1!= 2!= 3!= 4!= 5!= 6!= |
二、例題講解
1. 有一樓房前後有兩道門，三個窗戶，一旦失火，請問逃生的方法，共有幾種選擇法?
2. 傑米自行購買午餐，麥當勞有6種全餐可選，肯德基有5種全餐可選，若傑米只買一份，則有多少種選擇方式?
3. 自甲地到乙地有二條路可走，從乙地到丙地有三條路可走，則甲地經乙地到丙地共有幾種走法?
4. 試求下列各值 (1) = (2) (3)
三、自我練習
1. 某人自甲地到乙地，已知搭乘鐵路有三條，搭輪船有五條，試求自甲地到乙地共有多少路線可到達?
2. 由甲地到乙地火車路線有4條，而由乙地到丙地汽車路線有5條，則由甲地經乙地到丙地有幾種走法?
3. 傑瑞預赴歐美考察，經上網查詢航空班機 ; 長榮當日有10個班機，國泰當日有12個班次，華航當日有8個班次，試求傑瑞有幾種方法可以選擇?
4. 試求下列各值 (1) 7!= 10! (2)
& 2 的運算定義、相異物的直線排列
一、重點整理
1. 定義 : 由件〝不同〞的事物中，任選件(不重複)的排列數為 =，其中 2. 特例：= ………= (全取排列) 。 3. 特例：= = 4. 特例：= = 1 5. 若有特殊規定的排列時，應由特定位置先排。 |
二、例題講解
1. 求下列各值
(1) (2) (3) (4)
2. 甲、乙、丙等六人要排成一列，共有幾種排法？
3. 承上第2題，若甲、乙二人必排在一起，共有幾種排法？
4. 甲、乙、丙等七人任取四人排列，共有幾種排法？
5. 由0、1、3、5、6、8中任取，可排成幾個數字不同的3位數？
三、自我練習
1. 求下列各值
(1) (2) (3) (4)
2. 甲、乙、丙等五人要排成一列，共有幾種排法？
3. 承上，若甲、乙二人必排在一起，共有幾種排法？
4. 甲、乙、丙等六人任取3人排列，共有幾種排法？
5. 由0、1、3、5、6中任取，可排成幾個數字不同的3位數？
& 3不完全相異物的直線排列
一、重點整理
1. 定義 : 設個不完全相異的物件中，分成類，其中第一類有個相同物，第二類有個相同物，……，第類有個相同物，且 ++……+ = ，將此物件全取排列之。 2. 此〝不盡相異全取排列〞數公式 = 3. 舉例：共〝三〞個字母，其中有一個〝〞與兩個〝〞，則以此公式代入可為： |
二、例題講解
1. 將六位數的各位數字，先後次序任意顛倒排列，一共可得多少個不同六位數? (包括這數本身在內)
2. 將 [庭院深深深幾許] 七個字任意排列，共有幾種排法?
3. 將一字之字母重排，共有幾種排法?
4. 承上第4題，若必排在首位，則共有幾種排法?
三、自我練習
1. 將六位數的各位數字，先後次序任意顛倒排列，一共可得多少個不同六位數? (包括這數本身在內)
2. 將 [我為人人人人為我] 八個字任意排列，共有幾種排法?
3. 將一字之字母重排，共有幾種排法?
4. 承上，若必排在末位，則共有幾種排法?
& 4 重複排列
一、重點整理
1. 定義 : 一件事情分個步驟來完成，而且完成每個步驟的方法皆為種，根據乘法原理總共有 種排列方法 2. 此[重複排列]數公式為 。 |
二、例題講解
1. 將5封不同的信，任意投入3個郵筒中，每個郵筒所投的信不限制，可以多投，也可能一封也沒投入，共有多少種投法?
2. 甲、乙、丙等三人，欲投宿4家祣社，有幾種不同投宿法?
3. 由1、2、3、6、7、9六個數字所構成的三位數有多少個? (數字可相同)
4. 由0、2、3、6、7五種數字，可重複出現的組成四位數，共有多少個?
三、自我練習
1. 將4封不同的信，任意投入3個郵筒中，每個郵筒所投的信不限制，可以多投，也可能一封也沒投入，共有多少種投法?
2. 甲、乙、丙等三人，欲投宿5家祣社，有幾種不同投宿法?
3. 由1、2、3、6、7五個數字所構成的三位數有多少個? (數字可相同)
4. 由0、2、3、6、7五種數字，可重複出現的組成三位數，共有多少個?
& 5 組合
一、重點整理
1. 自件相異物中，每次任取個 ()為一組之組合數，不考慮〝排列〞方式。 2. 符號為或以表示則其排列數為。 3. 公式 4. 剩餘定理 : (不同角度來看選取，結果相同) 5. 相異物的組合總數 : |
二、例題講解
1. 試求下列各組合數
(1) (2) (3)
2. 設 = ，試求之值。
3. 男生8人，女生6人，若要選出兩男兩女組成一代表隊，試求共有幾種組合?
4. 某入學考試試題共10題，由其中選7題作答時，但前2題必須作答，求其選法有幾種?
三、自我練習
1. 試求下列各組合數
(1) (2) (3) (4)
2. 設 = ，試求之值。
3. 將6位護士分發到三所醫院實習，每所醫院分發2人，試求共有多少種分法?
4. 一袋中有大小相同的球9個，其中有5紅球，4白球 ; 今自袋中任選5球，求取出為3紅球、2白球，求其取法有幾種?
& 6 重複組合
一、重點整理
1. 設個不同物中，可能有相同(重複)的物件出現，則此個物中任取件之組合，稱為重複組合。 2. 其組合數符號為 3. 方程式之整數解法 方程式 = (1) 非負整數解有組。 (2) 正整數解有組。 |
二、例題講解
1. 5個相同的皮球，贈予3位小朋友，若每人可以兼得，也不一定要分得，
試求有幾種不同分法?
2. 5個相同的皮球，贈予3位小朋友，每人至少一件，試求有幾種分法?
3. 求的非負整數解有幾組?
4. 求方程式的正整數解有幾組?
三、自我練習
1. 有8本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人可兼得，試求分法有多少種?
2. 有8本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少得一本，試求分法有多少種?
3. 試求方程式的非負整數解有幾組?
4. 試求方程式的正整數解有幾組?
& 7 二項式定理
一、重點整理
1. = 其展開式中第項為。 2. = 。 3. = 。 4. 。 (奇次項係數等於偶次項係數) |
二、例題講解
1. 試求展開式中的第四項。
2. 試求的展開式中的常數項。
3. 試求之值。
4. 試求之值。
三、自我練習
1. 展開後，共有幾項?
2. 試求展開式的第八項。
3. 試求之值。
4. 求之值。
