1-1

【1”】

1-1

【3”】

 1-2

1-3

【10”】

1-4

【5”】

  1-3

1-4

【6”】

 1-5

【5”】

1-5

【5”】

1-6

【12”】

 2-1

【7”】

2-2

2-3

【10”】

2-4

【9”】

2-5

2-6

【8”】

2-7

【3”】

2-1

2-4

2-8

2-9

【13”】

～第一節  開始～

壹、準備活動

 （一）請大家翻開講義第一頁，請你觀察左邊的圖。

師：同學們，知道這是什麼嗎？

師：沒錯！這是統一發票。如果你手邊有統一發票，你也可以把它拿出來觀察看看。統一發票總共有幾個數字？

師：那你們知不知道統一發票要怎麼對獎？怎麼樣才算是中特獎（獎金二百萬元）？

 師：這八位數都要跟特獎號碼一樣，那排列順序也要一樣嗎？

（二）

師：好，接下來我們來看右邊這張圖，知道這是什麼嗎？

師：沒錯！這是大樂透。如果你也有去買大樂透的話，你也可以把它拿出來觀察看看。知道大樂透的玩法嗎？怎麼樣才算是中頭獎？

師：這六個號碼都要跟頭獎號碼一樣，那排列順序也要一樣嗎？

師：好，有沒有人能告訴我對統一發票與對大樂透的相異之處？

 師：很好，像大樂透這種只要選出號碼，不需要排列順序的形式，我們可以說這是一種『組合』。

貳、教學活動

（三）教師佈題，引導全班一起解題。

師：我們先來看一個簡單的例子。這個題目相信同學們在上『排列』時，就已經會解了。我們請A1同學告訴我們要怎麼解答。

師：沒錯，這是我們從排列的觀點來作。那從另一個觀點來看，如果將這個排列的過程，分成兩個步驟：(1)先從5個人中選出3個人，(2)就選出的3人來排列。我們來看看要怎麼解題。從第一個步驟中，我們可以知道，選人是不論次序的，即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA是算一樣的，都是選中ABC三個人，可以先假設選人的方法有x種。從第二個步驟中可知3個人排成一列的方法有種，根據乘法原理，可將這兩個步驟合併成，因此我們可得出，從5個人中，選取3個人(不考慮排列順序)的方法有10種，這就是一種我們稱的『組合』，以來表示，由此我們可以得到『組合』的定義：從一團體m個不同物件中選n(0£ n £ m)件組成小團體，其組合方法數寫成（或寫成），其中C是英文單字Combination的第一個字母，

師：知道為什麼要規定0£ n £ m？

 師：很好，我們剛剛是用列式的方式解這個問題，接下來我們來用圖示的方式了解排列與組合的關係。

（四）

師：依照剛剛的列式，我們可以將圖形依照兩個步驟來畫：(1)從5人中任選3人(2)就選出的3人來做排列。假設第一步驟中我選出A、B、C三人，第二步驟，此三人做排列，會有幾種方法？

師：所以會有幾種排列方式？

師：沒有錯！依此類推，我們可以將圖形畫成這樣（圖略），我們說第一步驟從5人中任選3人是一種組合，共有種方法，第二步驟就選出的3人來做排列，共有3！種方法，將兩個步驟合併，亦即從5人中選3人排成一列，共有種排列方式。因此我們可以看出排列與組合的關係                       

（五）教師佈題，引導全班一起解題。

師：我們來看這個題目，根據剛剛所提的組合定義，可以將寫成，再來將分子6！和分母4！先約分，可得出；再來看(2)，同樣根據組合定義，可以將(2)寫成。接下來看(3)，根據組合定義，可以將(3) 寫成，我們複習一下0!，記不記得0!是多少？

師：對，要記得0!＝1喔！所以。從另一個角度來看，就表示從6個人裡面我選0      人的方法有幾種？選0人的方法就只有唯一一種，就是我全都不選！所以就可以直接看出        ；再來看(4)，根據組合定義可得，同樣地從另一個角度來看，就表示從6個人裡面要選6個人的方法有幾種？就         只有一種，就是全都選！所以也可以直接看出。這樣同學們明白了嗎？還有沒有不清楚的地方？沒有問題的話，給大家兩分鐘的時間練習範例一後的隋堂練習。待會我會請一位同學上台寫出你的解法。

  （六）

師：他寫的對嗎？

師：所以與有什麼關係？

師：好，所以，從剛剛例題一的例子來看，請先觀察(1)和(2)，你有沒有發現什麼？

師：好，再請你觀察(3)和(4)，有發現什麼？

師：沒有錯，所以從這三個等式中你有發現什麼嗎？

師：對！舉例來說，就像從5人中選2人打掃的方法數，跟我從5人中選3人不用打掃是一樣的，5人中選3人不用打掃會有種方法，所以就是這個意思，這邊只是要先讓同學們感覺一下組合的一種性質，實際上的證明我們留到下一堂課再詳細說明。接下來看下一個例題。

（七）教師佈題，引導全班一起解題。

師：我們來看這個問題，請問你從題意可以看出(1)與(2)有什麼不同嗎？

師：所以，(1)要用什麼方法？

師：那我們請A2同學跟我們說說看要怎麼解題。

師：A2同學說的對嗎？

師：好，接下來看(2)，(2)要用什麼方法？

師：那我們請A3同學跟我們說說看要怎麼解題。

師：A3同學說的對嗎？

師：同學們有沒有問題？沒有問題的話，給各位三分鐘時間，完成例題2下方的隨堂練習。

<學生個別練習，教師行間巡視>

師：我們請A4同學上台解答。

師：A4同學說的對嗎？

師：好，如果各位同學沒有其他問題，我們就繼續看下一種題型。

（八）教師佈題，引導全班一起解題。

師：相信同學們在國小或國中就已經會解這個題目了，請你先用你所知道的方法算算看。

師：除了以前教過的方法外，我們也可以從排列組合的方法解題喔！先請問大家，在平面上，幾個相異的點可以決定一條直線？

師：對。有沒有人能告訴我，A,B,C,D,E五點任三點不共線是什麼意思？

師：很好。以圖形來說就是像這樣（黑板圖示），五點中任三點不共線就表示此5點任取2點所決定的直線不會重合。我先將A、B兩點標示出來，直線AB與直線BA為同一條直線，沒有次序可言，所以這題就是要求組合數。也就是條直線。同樣的，幾個頂點可決定一個三角形？

師：很好。所以共可決定個三角形。最後，請你實際畫圖驗證你的答案。我們請A5和A6同學上來幫我們驗證這兩個圖形。

師：講義最後附有學習單，大家回去可自行練習，再跟老師或同學做討論。

～第一節  結束～

～第二節  開始～

壹、準備活動

（一）教師佈題（上節課已學過），請學生自行練習解題後，

隨機抽點學生上台解題。

師：上堂課的最後我們講到一個幾何上的題目，各位還記得

嗎？老師用一個題目再幫大家複習一下。   

（二）

師：現在請同學在講義上練習這個題目，待會老師會請一位同

學上台發表你的答案。

師：平面上任意六點，任三點不共線，可決定多少條直線？

師：承上題，共可決定多少個三角形呢？

師：那請你實際畫圖或點數，驗證你的答案。

（三）

師：請同學們再一次檢視這個題目，題目中為什麼需要提到

『任三點不共線』？有同學知道原因嗎？接下來請你們觀察一

下這個題目。

貳、教學活動

（四）教師佈題，題中有數點共線的例題。

師：題目提及作成三角形，需要有怎樣的性質？

師：隨意三個點都可以嗎？有沒有限制？

師：很好，接下來請各位同學根據我們剛剛討論的性質，解這

個題目。

          <個別練習解題，教師行間巡視>

師：既然作三角形得取三點，又要三點不共線，各位同學有沒

有觀察出解題的關鍵呢？ 

師：很好，那我們先請A2同學上台說說他的解法。

  師：為什麼要用加法，而不用乘法呢？

師：答案正確！同質性的情況下，要使用『加法原理』，所以

此題共有12+18=30（個）三角形。我們謝謝A2同學的詳細解

答。那麼各位同學，關於A2同學的解答各位同學還有疑問嗎？

或是有其他解法嗎？如果沒有，那我們就進入下一個主題。

（五）教師佈題，引導全班一起解題。

師：因為男生和女生的選擇互不影響，所以我們可分成男生、

女生的選擇來討論。

師：要從4位男生中選擇2位男生，共有幾種選擇？

師：很好。那麼要從6位女生中選擇2位女生，又有幾種選擇呢？

師：那男生與女生的組合又會有多少種可能呢？

師：正確！因為男生的選法並不受女生選法的影響，所以根據乘法原理，共有90種可能。同學們明白了嗎？還有沒有不清楚的地方？

師：沒有問題的話，那麼給各位三分鐘，完成例題4下方的隨堂練習。

                <學生個別練習，教師行間巡視>

師：我們請A5同學講一下答案。

師：好，如果各位同學沒有其他問題，我們就繼續課程。

 （六）教師佈題。

師：老師相信這個題目並不難，我們請A6同學來回答。

師：那除此之外有沒有其他解法？

師：真的沒有了嗎？老師提示一下，剛剛A6同學是以選擇出差

的人來解題；如果我們以選擇留守的人來解題，行不行的通

呢？有沒有同學要試試？

 師：A8解的很正確。現在，大家有沒有發現這兩種解法中有什

麼關連？是不是發現『』？右下角的數字相加剛好是5。

師：那請大家再任取一組數字測試看看（如：），是不是也會

成立呢？

師：好，我們剛剛講的這個性質就是課本上提到的『餘組合公

式』。

師：我們引用剛剛的例子，來解釋上面這個公式。若在m人中

要選擇n人出差，它的選擇其實是與m人中要選擇人留守是一

樣的。

師：那為什麼公式裡強調『』，卻不寫『』？因為要從m人中

選n人出差，只能『』。

師：好，那麼我們來證明一下，為什麼這個公式會成立？

師：同學對於上面的證明有沒有問題？沒有其他問題的話，請

大家完成學習單（如附件二）上面的2個題目。

<學生個別解題，請A9、A10、A11直接上台解前三小題，教師行間巡視>

 師：第一題我們請A9同學解題。

師：接下來，第二題的第1小題，我們請A10同學來回答。 

師：很好，答的很正確。接下來，請A11同學來解題。

師：接下來這兩題全班一起來解題。第3小題代表團中最多只

有1位女生，所以我們有兩種方式來解題。女生1位和女生0位

來討論。女生1位有30種（承第2小題），女生0位代表4位全

是男生，共有（種），因此共有30+5=35（種）。因為兩種狀

況不會同時成立，所以用加法原理。全部可能—2女—3女—4

女

 師：同樣的做法，第4小題提到最多只有兩位男生。可以有兩種解法：0男＋1男＋2男

（不可能沒有男生，因為女生只有3個）     

全部可能—3男—4男           

～第二節  結束～

生：這是統一發票。

生：八個。

生：知道，就是直接對中獎號碼單上的數字，八位數字都跟特獎號碼一樣就代表中特獎。

生：對。

 生：這是大樂透。

生：知道，就是從1～49中任選6個號碼，對中當期開出之6個號碼就代表中頭獎。

生：不用。

生：對統一發票號碼要按順序排列；對大樂透只要選出號碼，不需要按順序排列。

 生A1：

 生：因為物件的數量不會是負數，所以要大於或等於零；又總數量一定會比選出來的數量多，所以n £ m。

生：3！種。

生：有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA共6種。

 生：0!＝1

生：對。

生：相等關係。

生：組合底下兩個數的和等於上面的數。

生：有阿！(1)是除了選出3人外，還要安排職務；(2)是只要選出3人就好。

生：用排列。

生A2：

生：對。

生：用組合。

生A3：生：對。

生A4：

生：對。

《學生可能有的解法：畫圖》

生：2個點。

 生：就是三個點不會在同一直線上。

生：3個點。

A5、A6生：圖略。

 生：15（條）

生：20（個）

生：圖略。

生：要有三個點。

生：不能三個點在一直線上。

生A1：有，我發現需要一邊取一點，另一邊取兩點，不可以三點都取同一條線上的。

生A2：我們可以將它分成以下兩種情況：

（1）A、B、C中取兩點；D、E、F、G中取

一點會有12（個）

（2）A、B、C中取一點；D、E、F、G中取兩點會有18（個）

綜合（1）、（2），共有12+18=30（個）三角形

生：因為兩種狀況屬同質性，不可能同時成

立，所以用加法。

生A3：共有6（種）

生A4：共有15（種）全體：90（種）可能。

 生A5：

從10位男生中選出2位男生，共有45（種）

從20位女生中選出3位女生，共有

1140（種）全部共51300（種）可能。

生A6：10（種）。

生A7：沒有了。

生A8：老師，我試試看。5個人要選2個人出差，相當於5個人要選3個人留守，所以有10

全體：是，也成立。

 生A9：任選兩直線就有一個交點，且沒有重合的交點，所以共有28（個）交點

生A10：8位要取4位組成代表團有70（種）

生A11：只有一位女生，就是要從3個女生中

選出一個，選法有3（種）；剩下的3位要從5

位男生中選出，有10（種）。所以總共有

30（種）

能說出統一發票的對獎方式

 能說出大樂透的對獎方式

能比較對統一發票與對大樂透的不同處

能利用排列的方式進行解題

能回答0!的值

能利用組合公式求解

能判斷排列與組合的不同

能利用排列的方式進行解題

能利用組合的方式進行解題

能說出相異兩點決定一直線

能說出三點不共線的意義

能說出三點決定一個三角形

能配合圖形驗證答案

能以組合數解幾何計數問題

能以組合數解幾何計數問題

能以實際圖解驗證答案

指出三角形的組成性質與限制

能選擇適當的組合數和加法原理解題

能選擇適當的組合數和乘法原理解題

能選擇適當的組合數和乘法原理解題

能以雙向思考解題

能由情境問題中發現餘組合公式的存在

能由情境問題中發現餘組合公式的由來

能證明餘組合公式

能以簡單組合解決圖形計數問題

能以簡單組合解決組合問題

能以分析的步驟解決較複雜的組合問題